【統計学】中心極限定理の正規近似による確率計算

 

・中心極限定理の意味

 

 

大数の法則によって、標本平均は母平均 µ のまわりに分布し、µ から離れる確率は n が大きくなるにつれて 0 になります。

 

 

このとき、標本平均 X の平均と分散の値だけでなく、標本平均X の分布も中心極限定理はよって求めることが可能です。

 

 

ちなみに、この定理は母集団の平均と標本平均についてのものなので、「母分布が正規分布とは異なる一様分布であっても、n が十分に大きければ標本平均  X の分布は正規分布 N(µ,σ2/n) によって近似できる」ということも意味しています。

 

 

中心極限定理を利用するための条件は、母分布の平均と分散が存在することなので、母集団の分布の形はわかっていなくても大丈夫です。

 

 

つまり、中心極限定理により標本分布がわからない場合や、分布が複雑すぎて確率密度の計算が困難な場合でも、n が十分大きければ、中心極限定理により正規分布を仮定して、推定や検定を行うことが可能なのです。

 

 

ちなみに中心極限定理が適用できる n の大きさは 30 ∼ 100 以上とされることが多いです。

 

 

f:id:oruka199665:20170325031331j:plain

 

 

 

・中心極限定理を使った確率の計算例

 

例題 :ある工場で作られるネジの重さは過去の記録から平均 100グラム,標準偏差 σ が 5グラムであったとする。ある日この生産工程より 100コのネジを抜き出し、重さの品質調査を行うことになった。

(1) 100コのネジの平均重量が100グラム以上で 105グラム以下である確率を求めよ。
(2) 標本平均が 95 %の確率 を伴って入る区間 (a,b) を求めよ。

 

 

 

 解答(1)

要するにP(100 ≦ X≦ 105) を求めるという事になります。

中心極限定理によりnが大きければ ( n ≧ 100)、母分布がいかなる分布でも、母平均 µ と母分散 σ² が既知であれば、 X を標準化した Z を標準正規分布で近似できます。

 

 

すなわち、f:id:oruka199665:20170325032412j:plain

E(X) = µ = 100,  σ/√n = 5/√100 = 1/2 = 0.5

Z = X −100 /0.5 
.
P(100 ≦ X≦ 105) = P(100−100/ 2.5≦ Z ≦105−100 /2.5 )

= P(0 ≦ Z ≦ 2) =0.4772(標準正規分布表より)

→ 100コのネジの平均重量が 100グラム以上で 105 グラム以下の確率は 47.72%

 

 

 

解答(2)

 

この問題はつまりP(a ≦ X≦ b) ≈ 0.95 であるような a、b を求めろという事なので、まず標準正規分布表より、P(−c ≦ Z ≦ c) ≈ 0.95 であるような c を求めます。

 

 

標準正規分布は左右対称なので、 P(Z ≧ c) = (1−0.95)/2 = 0.025、P(Z ≦ c) = 1−P(Z ≧ c) = 1−0.025 = 0.975。標準正規分布表で 0.975 を探すと、c = 1.96 と求まり、P(−1.96 ≦ Z ≦ 1.96) ≈ 0.95 が得られる。

 

 

P(a ≦ X≦ b) ≈ 0.95  P(a−100/2.5 ≦ Z ≦ (b−100/2.5 )≈ 0.95  

a−100/2.5 = −1.96 を変形して→ a = 2.5 × (−1.96) + 100 =95.1

b−100/2.5 = 1.96 → b = 2.5 × 1.96 + 100 = 104.9

 

 

よって  P(95.1 ≦ X≦ 104.9) ≈ 0.95、つまり、母平均が 100 グラムであれば、標本平均が 100 時間から±4.9 時間 (= 2.5 × 1.96) から外の数値になるのは 100 回のうち 5 回程度だという事になります。

 

 

 

統計学についてしっかり勉強するのであれば、↓の本が分かりやすく説明していてオススメです。

 

 

プログラミングの独学はとても難しい


プログラミングは小学校の義務教育にも導入され始めており、これから社会人として生きていく上でプログラミングはもはや出来て当たり前、出来なれば論外というエクセルレベルの必須スキルになりつつあります。そしてそういう話を聞いて参考書なりを購入して独学でプログラミング勉強しようと思っている人も少なくないでしょう。しかしプログラミングを独学で勉強し始めようと思うものの



・「分からない箇所で詰まって挫折してしまった」

・「勉強する時間が足りない」

・「ネットの記事だと情報が断片的でよくわからない」

・「コードのエラーの原因が分からない」



という壁にぶち当たって、プログラミングの勉強を止めてしまう方が少なくありません。独学でプログラミングを勉強してる時間のほとんどはつまづいている時間です。実際僕も最初のころ独学でプログラミングを勉強していた頃はエラーの原因が分からず丸1日を不意にしてしまった・・・そんな苦い経験がありました。それで僕は一度はプログラミングの学習を諦めてしまいましたが、就活で現実を知る中で



「プログラミングを勉強して、いずれフリーランスとして自由な生き方がしたい」

「エンジニアとして若いうちから高収入を得たい」



という強い気持ちから一念発起して「侍エンジニアのwebサービスコース」に申し込み、プロのエンジニアの方に対面でマンツーマンでPythonによるWebサービス作り方とWeb技術の基本を教えてもらい、ようやくプログラミングが理解でき、今ではエンジニアとしてそこそこの暮らしができるようになりました。





侍エンジニアでは、とりあえずプログラミングやインターネットの基本を知っておきたい人から、HTML・cssなどでWebサイトやWebアプリを作ってみたい人やPythonを勉強してデータサイエンティストやAIエンジニアになりたい人まで幅広いニーズに応えた様々なコースが用意されています。



IT業界と言ってもエンジニアの仕事はプログラミング言語次第でサーバーから機械学習・ディープラーニングまで多種多様ですし、侍エンジニアの無料レッスン(カウンセリング)を受けてみて、自分のやりたいITの仕事は何なのか?を見つけるのがエンジニアへの第一歩になります。ちなみに今侍エンジニアの無料レッスンを受けると1000円分のAmazonギフト券がもらえるので、試しに受けてみるだけもお得です。


自分は半端に独学やオンラインスクールで勉強して金と時間を無駄にするくらいなら、リアルのプログラミングスクールに通ってしっかりプログラミングを勉強した方がいいと思います。ちなみに今、侍エンジニアに申し込むと、25歳以下の学生の方であれば、受講料が20%OFFになるので超お得です。


そして、プログラミングは大勢で授業を受けたり漫然とオンライン学習をするよりも自分が分からない箇所をピンポイントでプロの講師に直接質問して、ちゃんと納得するというスタイルの方がお金は確かに少し掛かりますが、独学で学ぶよりも絶対にモノになります。


シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする

   侍エンジニア塾       
侍エンジニアの無料体験レッスンを予約する -->